“线与角”是小学数学“图形与几何”领域的重要内容，是帮助学生积累探索图形特征的数学活动经验的开始，也是发展学生空间观念这一数学核心素养的重要基础。我尝试结合北师大版教材的单元编排，通过思考、分析与解读，浅谈自己对这部分内容的认识与思考。

一、走进教学：整体把握单元教学中的困惑与思考

在整体审视单元教学的前期，我主要思考以下两个问题：

（一）什么是线与角

无疑，按照教材的编排路径，“线”即指线段、射线和直线。学生将在这个单元里比较系统地认识数学世界中三种线的特征、表示及其平面上的位置关系。而“角”应指静态角和动态角，二年级下册已经认识过一次角，主要从生活中常见的物体上直观地抽象出角，这时对角是在静态视角下认识的，可称其为“静态角”的认识阶段。而学生在四年级本单元中则是从图形（射线）的运动中认识角，是站在动态视角下的认识，故而可称为“动态角”。这些共同构成了学生认知世界的数学思维对象。（如图1）

图1

但无论是“线”还是“角”，都因其自身存在的一些共同特点而对儿童造成难以跨越的认知障碍。确切来说，作为思维对象的线与角只存在于数学世界里，在现实中找不到，它们都只是生活中原来的现实模型而已，其思维特征体现为高度与深度的抽象、概括。比如直线，在生活中根本找不到，它是集合了所有现实中那些“直直的线”的原型而高度抽象出的一种数学模型，没有长度，没有粗细。线与角的数学特征的描述是借助于深度想象完成的。比如射线，其与直线一样具有无限延伸的特征，这种无限延伸是学生借助于现实生活中的现象（比如手电筒发出的光线），通过高度的空间想象去完成认识的，这对儿童来说是非常难的。另外，线与角的读取和记录都是人为规定的，是为了研究和交流方便而制定的通用的规则。

（二）为什么把线与角放在一个单元

为什么教材把线与角放在同一个单元进行编排？有教师认为，这是因为线与角是有密切联系的。从静态的角度考虑，角是从同一点发出的两条射线组成的图形；从动态的角度考虑，角是一条射线绕着端点旋转而成的图形。由于线与角在数学上的天然联系，把它们编排在一个单元是顺理成章的事情。

但这样的编排仅仅是因为线与角之间的联系吗？我们能不能从空间观念发展的价值体现上加以思考？通过对比《数学课程标准》与《实验稿》对于“空间观念”的表述，除将《实验稿》中最后一条独立为另一个核心概念“几何直观”外，《标准》对于“空间观念”的阐述基本保持了原来的说法。发展空间观念需要能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素与关系。其中的“元素”一词引起了我的思考：“图形与几何” 领域空间观念的发展离不开“基本元素与关系”的支撑。点、线、面、角等都是几何图形中的基本构成元素，有了站在元素视角下对线与角的整体审视，才能研究认识其关系，才能发展空间观念(如图2)。

图2

二、走进教材：基本元素的位置关系及其在教学中的价值体现

（一）基本元素的位置关系

在基本元素的“位置关系”这一数学主线的映照下，线与角等这些基本元素之间存在着千丝万缕的联系（如图3）。

图3

两条直线的位置关系包括不相交和相交两种。不相交除了一般情况下的不相交之外，还有一种特例情况——平行（如图4）：在“平行”这个维度里，包括线与线的平行、线与面的平行和面与面的平行。同样，相交除了一般的相交之外，还包含着特例——垂直（如图5）：在“垂直”这个维度里，包括线与线的垂直、线与面的垂直和面与面的垂直。其中，“线与线”的平行或垂直关系是所有几何图形基本元素关系研究的基础。“线与线”的关系是一条重要的思维链条，通过类比即可研究后续“线与面”“面与面”的关系。同时，线与角之间也存在着错综复杂的密切联系。比如在“平行”中的“平行线的判定”可以通过“同位角相等两直线平行” 等来判定；“平行线的性质” 中有“两直线平行同位角相等”等；同样，任意两条相交的直线，会形成四个角，且对顶角相等，同角的补角相等……都折射出线与角这些基本元素之间存在的千丝万缕的联系。